Finde den Fehler
Posted in Studium on April 26th, 2010 by MeroviusMoin,
ich habe da ein kleinen Denkfehler, den finde ich nur nicht. Brauch Hilfe ;)
Ich zitiere mal Wikipedia:
Eine Menge
wird von einer Menge vom Maß 0 überdeckt, wenn für alle ε > 0 gilt: Es existiert eine offene Überdeckung von M aus höchstens abzählbar unendlich vielen Quadern und die Summe der Maße dieser Quader ist kleiner als ε.
Nun tun wir das folgende: Sei 
eine Abzählung für 
. Wir überdecken offen, indem wir um jede rationale Zahl 
den offenen 
-Ball legen. Damit erhalten wir eine offene Überdeckung mit Maß 
, also ein endliches Maß. Zu gegebenem 
wählen wir dann ein 
und multiplizieren die Überdeckung mit 
und erhalten so eine offene Überdeckung von mit Maß kleiner als 
(super, wir haben bewiesen, dass eine Nullmenge ist!).
Die Frage, die sich nun stellt ist: Haben wir auch eine offene Überdeckung von 
?
Die (offensichtliche) Antwort ist „nein”, denn sonst wäre eine Nullmenge und damit auch 
. Ich aber finde diese Antwort ziemlich konterintuitiv, denn schließlich liegen in jeder Umgebung um jede irrationale Zahl beliebig viele rationale Zahlen.
Ich bin mir ziemlich sicher, ungefähr zu wissen, wo der Denkfehler liegt, aber ich wüsste trotzdem gerne, was ihr davon denkt und vielleicht hat ja jemand einen eingängigen Beweis, warum das keine Überdeckung von ist…
[Update] Danke an Dominik, für den entscheidenden Hinweis, wie sich beweisen lässt, nicht nur, dass es sich nicht um eine Überdeckung von handelt, sondern auch, dass die nicht überdeckte Menge keine Nullmenge ist.
Wir nehmen an, sei gegeben und wir führen die obige Konstruktion durch.
Zunächst zeigen wir, dass es sich nicht um eine Überdeckung handelt. Dazu betrachten wir das Intervall ![\left[-\frac{\epsilon}{2},\frac{\epsilon}{2}\right]](http://blog.merovius.de/wp-content/plugins/easy-latex/cache/tex_ee7e7048ff3d2ec62c2258986603abdf.png "\left[-\frac{\epsilon}{2},\frac{\epsilon}{2}\right]")
. Dieses wird dann ebenfalls überdeckt. Da das Intervall kompakt ist, existiert eine endliche Teilüberdeckung. Aufgrund der Subadditivität des Maßes ist jedoch das Maß dieser Teilüberdeckung kleiner, als das Maß der gesamten konstruierten Überdeckung – also eben auch kleiner als und damit kleiner als das Maß der angeblich überdeckten Fläche.
Grundsätzlich ist damit bereits gezeigt, dass sogar eine Menge mit Maß größer als 0 nicht überdeckt wird und daß damit keine Nullmenge ist. Man kann aber noch einen kleinen weiteren Schritt machen und annehmen, dass die nicht überdeckte Menge eine Nullmenge ist. Dann können wir aber wieder eine höchstens abzählbare Überdeckung der bisher nicht überdeckten Menge finden, deren Maß kleiner als ist – und erhalten so eine abzählbare Überderdeckung von ganz , mit Maß kleiner als 
. Wenden wir dann das obige Argument auf das Intervall ![[-\epsilon, \epsilon]](http://blog.merovius.de/wp-content/plugins/easy-latex/cache/tex_54a31c7d479f4647934a4a2ebcbf9a4c.png "[-\epsilon, \epsilon]")
an, erhalten wir einen Widerspruch.
Also, ich bin glaube ich zufrieden gestellt, es sei denn, es kommen irgendwelche Einwände, die Lücken in dieser Argumentation aufzeigen.
Wer das Problem interessant fand, den interessiert vielleicht auch das Banach-Tarsky-Paradoxon, auf das Oli mich aufmerksam gemacht hat. Auch wenn es höchstens randmäßig mit dem Problem zu tun hat, wie sich herausgestellt hat, ist es auf jeden Fall interessant – und eine tolle Party-Anekdote (was? Ihr klärt auf Parties die anwesenden Unwissenden nicht über die Wunder der Mathematik auf? Manche Menschen haben einfach keinen Charme…).